2次元フーリエ変換と周波数フィルタをTypeScriptで実装する【画像処理100本ノック】

目次

1. 概要
2. 2次元dftと逆dftq32
3. 周波数領域の読み方
4. 周波数フィルタ
5. 空間フィルタとの関係

概要

Q.32〜35では、2次元離散フーリエ変換で画像を周波数成分へ分解し、周波数領域で ローパス、ハイパス、バンドパスフィルタを適用します。

2次元DFTと逆DFT（Q.32）

各周波数(u, v)に対して全画素(x, y)を走査し、実部と虚部を求めます。

const angle = -2 * Math.PI * (x * u / width + y * v / height);
real += value * Math.cos(angle);
imag += value * Math.sin(angle);

逆変換では角度の符号を反転し、画素数で割って空間画像へ戻します。この実装は仕組みを 追いやすい一方で計算量が大きく、画像サイズによっては完了まで時間がかかります。

• Q.32のデモ
• Ans032.ts

周波数領域の読み方

低周波成分は画像全体の緩やかな明るさの変化、高周波成分は輪郭や細かな模様に対応します。 実装ではスペクトルをシフトし、低周波が画像中央へ来るようにしてから円形のマスクを作ります。

周波数フィルタ

問題	残す成分	出力の特徴
Q.33 ローパス	中心付近の低周波	細部やノイズが減り、ぼける
Q.34 ハイパス	中心から遠い高周波	輪郭や細かな模様が残る
Q.35 バンドパス	指定した半径の帯域	特定スケールの模様を抽出する

フィルタ処理そのものは、通過させない周波数の実部と虚部を0にする処理です。その後に逆DFTを 行うと、周波数マスクの効果を空間画像として確認できます。

• Ans033.ts
• Ans034.ts
• Ans035.ts

空間フィルタとの関係

ガウシアンフィルタによるぼかしは、周波数領域では高周波を弱める処理と考えられます。 Sobelなどのエッジ検出は高周波を強調します。空間領域と周波数領域の結果を比較すると、 別々に見えるフィルタが同じ性質を扱っていることが分かります。